Задача №1645
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}}\).
Решение
В принципе,если принять \(\displaystyle{t=e^x}\), то придём к интегралу от функции \(\displaystyle{\frac{1}{t\sqrt{1+t+t^2}}}\), где \(\displaystyle{t\gt{0}}\). Для дальнейшего решения можно заменить \(\displaystyle{z=\frac{1}{t}}\). Мне кажется более рациональным просто домножить числитель и знаменатель на \(\displaystyle{e^{-x}}\).
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}
=\int\frac{e^{-x}dx}{ \sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}}=\\
=-\int\frac{d\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)}{ \sqrt{\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} }
=-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2222 |