Задача №1637
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}}}\).
Решение
\[
\int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}}
=\left[\begin{aligned}
& u=\ln(x+1);\;du=\frac{dx}{x+1};\\
& dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x+1);\;v=2(x+1)^{\frac{1}{2}}.
\end{aligned}\right]=\\
=2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-2\int(x+1)^{-\frac{1}{2}}dx
=2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-4\cdot(x+1)^{\frac{1}{2}}+C
=2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2183 |