Задача №1635
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{a=b=0}\), то выражение \(\displaystyle{\frac{1}{ae^{mx}+be^{-mx}}}\) не имеет смысла. Поэтому полагаем, что параметры \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\) не могут одновременно равняться нулю. Если \(\displaystyle{m=0}\), то получим:
\[
\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}
=\int\frac{dx}{a+b}
=\frac{x}{a+b}+C
\]
Пусть теперь \(\displaystyle{m\neq{0}}\).
Если \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{b=0}\), тогда получим:
\[
\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}
=\int\frac{dx}{ae^{mx}}
=-\frac{1}{am}\cdot\int{e^{-mx}}d(-mx)
=-\frac{e^{-mx}}{am}+C
\]
Если \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{b\neq{0}}\), тогда получим:
\[
\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}
=\int\frac{dx}{be^{-mx}}
=\frac{1}{bm}\cdot\int{e^{mx}}d(mx)
=\frac{e^{mx}}{bm}+C
\]
Если же \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{b\neq{0}}\), то будем иметь:
\[
\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}
=\int\frac{e^{mx}dx}{ae^{2mx}+b}
=\frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}}
\]
Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\gt{0}}\), то получим:
\[
\frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{1}{am}\cdot\sqrt{\frac{a}{b}}\arctg\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot{e^{mx}}\right)+C
\]
Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\lt{0}}\), то получим:
\[
\frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{1}{2am}\cdot\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|}\ln\left|\frac{e^{mx}-\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}}{e^{mx}+\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}}\right|+C
\]
Ответ:
Задача решена.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2178 |