Задача №1634
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx}\).
Решение
Первый способ
Формула \(\displaystyle{u^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{u}}\) верна лишь при \(\displaystyle{u\ge{0}}\). Для произвольного \(\displaystyle{u\in{R}}\) можно записать, что \(\displaystyle{\sqrt[3]{u}=\sgn{u}\cdot{|u|^{\frac{1}{3}}}}\). Эту формулу мы и применим в решении. С другой стороны, \(\displaystyle{u\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{u^4}=|u|^{\frac{4}{3}}}\). Кроме того, учтём, что \(\displaystyle{\sgn^2(x+a)=1}\) при \(\displaystyle{x\neq{-a}}\).
\[
\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx
=\int{(x+a-a)\sqrt[3]{x+a}}dx
=\int\left(|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\int\left(\sgn^2(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\sgn(x+a)\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(|x+a|)=\\
=\sgn(x+a)\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{7}{3}}}{7}-a\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{4}{3}}}{4}+C
=\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C
\]
Второй способ
\[
\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt[3]{x+a};\\
& x=t^3-a;\;dx=3t^2dt.
\end{aligned}\right]
=3\int\left(t^6-at^3\right)dt=\\
=3\cdot\left(\frac{t^7}{7}-\frac{at^4}{4}\right)+C
=\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2177 |