Задача №1633
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{xdx}{x-\sqrt{x^2-1}}}\).
Решение
\[
\int\frac{xdx}{x-\sqrt{x^2-1}}
=\int\frac{x\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}dx=\\
=\int\left(x^2+x\sqrt{x^2-1}\right)dx
=\int{x^2}dx+\frac{1}{2}\int\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2-1\right)
=\frac{x^3}{3}+\frac{\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^3}{3}+\frac{\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2176 |