Задача №1629
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}}\).
Решение
Заранее отмечу, что в дальнейшем решении учитывается \(\displaystyle{\sgn{x}=\sgn{t}}\). Все преобразования ведём на произвольном промежутке, не содержащем ноль.
\[
\int\frac{dx}{x^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}
=\left[t=\frac{1}{x}\right]
=-\int\frac{dt}{\frac{1}{t}+\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}
=-\int\frac{tdt}{1+\sgn{t}\cdot\sqrt{t^2+1}}=\\
=-\sgn{t}\cdot\int\frac{tdt}{\sgn{t}+\sqrt{1+t^2}}
=\left[\begin{aligned}
& u=\sqrt{t^2+1};\;u^2=t^2+1.\\
& udu=tdt.
\end{aligned}\right]
=-\sgn{t}\cdot\int\frac{udu}{\sgn{t}+u}=\\
=\sgn{t}\cdot\int\left(\frac{\sgn{t}}{u+\sgn{t}}-1\right)dt
=\sgn{t}\cdot\left(\sgn{t}\ln|u+\sgn{t}|-u\right)+C=\\
=\ln\left|\sqrt{1+t^2}+\sgn{t}\right|-\sgn{t}\sqrt{1+t^2}+C=\\
=\ln\left|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sgn{x}\right|-\sgn{x}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C
=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{x}\right|-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{x}\right|-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2162 |