Задача №1621
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{a=b=0}\), то выражение \(\displaystyle{\frac{1}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}}\) не имеет смысла.Если какой-то из параметров равен нулю, а второй отличен от нуля, то получим табличный интеграл. Рассмотрим случай \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{b\neq{0}}\).
\[
\int\frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}
=\int\frac{\frac{dx}{\cos^2{x}}}{a^2\cdot\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^2+b^2}=\\
=\frac{1}{a^2}\cdot\int\frac{d(\tg{x})}{\tg^2{x}+\left(\frac{b}{a}\right)^2}
=\frac{1}{ab}\arctg\frac{a\tg{x}}{b}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{ab}\arctg\frac{a\tg{x}}{b}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2120 |