Задача №1619
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin^3{x}}}\).
Решение
В принципе, здесь можно сделать стандартную подстановку \(\displaystyle{t=\tg\frac{x}{2}}\), после которой мы получим такой интеграл:
\[
\frac{1}{4}\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}dt
\]
Дальнейшее вычисление стандартно - раскрыть скобки, разделить почленно и т.д. Поинтереснее мне кажется вариант применения формулы интегрирования по частям:
\[
\int\frac{dx}{\sin^3{x}}
=-\int\frac{1}{\sin{x}}d\left(\ctg{x}\right)
=-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\frac{\cos^2{x}}{\sin^3{x}}dx=\\
=-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\left(\frac{1}{\sin^3{x}}-\frac{1}{\sin{x}}\right)dx
=-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}-\int\frac{dx}{\sin^3{x}}+\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|
\]
Из последнего равенства имеем:
\[
\int\frac{dx}{\sin^3{x}}
=-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2102 |