Задача №1616
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\cos^6{x}dx}\).
Решение
\[
\int\cos^6{x}dx
=\int\left(\frac{1+\cos{2x}}{2}\right)^3dx
=\frac{1}{8}\int\left(1+3\cos{2x}+3\cos^2{2x}\right)dx+\frac{1}{8}\int\cos^3{2x}dx=\\
=\frac{1}{8}\cdot\int\left(\frac{5}{2}+3\cos{2x}+\frac{3}{2}\cos{4x}\right)dx+\frac{1}{16}\cdot\int\left(1-\sin^2{2x}\right)d(\sin{2x})=\\
=\frac{5x}{16}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{3\sin{4x}}{64}-\frac{\sin^3{2x}}{48}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{5x}{16}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{3\sin{4x}}{64}-\frac{\sin^3{2x}}{48}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2098 |