Задача №1601
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}}\).
Решение
\[
\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}=\\
=\frac{A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
\]
\[
3x^2+x+3=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3
\]
Подставляя \(\displaystyle{x=1}\), получим \(\displaystyle{C=\frac{7}{2}}\). Подставляя \(\displaystyle{C=\frac{7}{2}}\) и упрощая, будем иметь:
\[
3x^2+x+3-\frac{7}{2}\left(x^2+1\right)=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3\\
-\frac{x-1}{2}=A(x-1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^2
\]
Вновь подставляя \(\displaystyle{x=1}\), имеем \(\displaystyle{B=0}\). После подстановки \(\displaystyle{B=0}\) и упрощения, будем иметь:
\[
-\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)
\]
Подставляем \(\displaystyle{x=1}\) и получаем \(\displaystyle{A=-\frac{1}{4}}\). Подставляем \(\displaystyle{A=-\frac{1}{4}}\) и упрощаем:
\[
-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(x^2+1\right)=(Dx+E)(x-1)\\
\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}=Dx+E.
\]
Отсюда имеем: \(\displaystyle{D=\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{E=\frac{1}{4}}\).
\[
\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
=\int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\
=-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2044 |