Задача №1600
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}}\).
Решение
\[
\frac{1}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=\\
=\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
\]
\[
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2
\]
Подставляя \(\displaystyle{x=-1}\), получим \(\displaystyle{B=\frac{1}{2}}\). Подставляя \(\displaystyle{B=\frac{1}{2}}\) и упрощая, будем иметь:
\[
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2;\\
-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1).
\]
Вновь подставляя \(\displaystyle{x=-1}\), имеем \(\displaystyle{A=\frac{1}{2}}\). После подстановки \(\displaystyle{A=\frac{1}{2}}\) и упрощения, будем иметь:
\[
-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1);\\
-\frac{1}{2}x=Cx+D.
\]
Отсюда имеем: \(\displaystyle{C=-\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{D=0}\).
\[
\int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
=\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}\right)dx=\\
=\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2043 |