Задача №1593

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)}}\).

\[ \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} =\frac{A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x}{x\left(x^2+1\right)}. \]

\[ 1=A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x \]

Подставляя \(\displaystyle{x=0}\), получим \(\displaystyle{A=1}\). Подставляя \(\displaystyle{A=1}\), будем иметь:

\[ 1=x^2+1+x(Bx+C);\; -x^2=x(Bx+C);\; -x=Bx+C. \]

Следовательно, \(\displaystyle{B=-1}\), \(\displaystyle{C=0}\).

\[ \int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)} =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C. \]

\(\displaystyle{\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C}\)

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №3	Основные классы интегрируемых функций
Задача №2036