Задача №1592

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx}\).

Решение

\[ \frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3} =\frac{3x^2+1}{(x-1)^3(x+1)^3} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{x+1}+\frac{E}{(x+1)^2}+\frac{F}{(x+1)^3}=\\ =\frac{A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3}{(x-1)^3(x+1)^3} \]

\[ \begin{equation} 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3 \label{eq:1} \end{equation} \]

Подставляя \(\displaystyle{x=1}\), получим \(\displaystyle{4=8C}\), откуда \(\displaystyle{C=\frac{1}{2}}\). Аналогично, после подстановки \(\displaystyle{x=-1}\), получим \(\displaystyle{F=-\frac{1}{2}}\).

Подставляем \(\displaystyle{C=\frac{1}{2}}\) и \(\displaystyle{F=-\frac{1}{2}}\) в \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\):

\[ 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+\frac{1}{2}(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)-\frac{1}{2}(x-1)^3. \]

После упрощения имеем такое равенство:

\[ \begin{equation} 0 =A(x-1)(x+1)^2+B(x+1)^2+D(x-1)^2(x+1)+E(x-1)^2. \label{eq:2} \end{equation} \]

Вновь подставляя в \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) значения \(\displaystyle{x=-1}\) и \(\displaystyle{x=1}\), получим \(\displaystyle{B=E=0}\). С учётом найденных значений \(\displaystyle{B}\) и \(\displaystyle{E}\), равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) после упрощения примет такую форму:

\[ \begin{equation} 0 =A(x+1)+D(x-1). \label{eq:3} \end{equation} \]

Подстановка \(\displaystyle{x=-1}\) и \(\displaystyle{x=1}\) даст нам значения \(\displaystyle{A=D=0}\). Впрочем, учитывая единственность разложения дроби на элементарные, из \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) можно сразу сделать вывод о том, что \(\displaystyle{A=B=D=E=0}\).

Возвращаемся к исходному интегралу:

\[ \int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx =\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^3}\right)dx =-\frac{1}{4(x-1)^2}+\frac{1}{4(x+1)^2}+C =-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №3	Основные классы интегрируемых функций
Задача №2035