Задача №1591
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx}\).
Решение
\[
\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{(x-2)^2}=\\
=\frac{Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3}{x^3(x-2)^2}
\]
\[
\begin{equation}
x^3-2x^2+4
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3
\label{eq:1}
\end{equation}
\]
Подставляя \(\displaystyle{x=0}\), получим \(\displaystyle{4=4C}\), откуда \(\displaystyle{C=1}\). Аналогично, подставляя \(\displaystyle{x=2}\), получим \(\displaystyle{E=\frac{1}{2}}\).
Подставляем \(\displaystyle{C=1}\) и \(\displaystyle{E=\frac{1}{2}}\) в \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\):
\[
x^3-2x^2+4
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+(x-2)^2+Dx^3(x-2)+\frac{1}{2}x^3;\\
\frac{1}{2}x^3-3x^2+4x
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2);\\
x(x-2)\left(\frac{1}{2}x-2\right)
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2).
\]
\[
\begin{equation}
\frac{1}{2}x-2
=Ax(x-2)+B(x-2)+Dx^2
\label{eq:2}
\end{equation}
\]
Подставляя \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) значения \(\displaystyle{x=0}\) и \(\displaystyle{x=2}\), получим соответственно \(\displaystyle{B=1}\) и \(\displaystyle{D=-\frac{1}{4}}\). Далее, после подстановки \(\displaystyle{x=-2}\) имеем уравнение \(\displaystyle{8A-4B+4D=-3}\), откуда получаем \(\displaystyle{A=\frac{1}{4}}\).
Возвращаемся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx
=\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^2}\right)dx=\\
=\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2034 |