Задача №1589
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)}dx}\).
Решение
\[
\frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)}
=\frac{x^2-2x+3}{x(x-1)^2(x-3)}=\\
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{x-3}
=\frac{A(x-1)^2(x-3)+Bx(x-1)(x-3)+Cx(x-3)+Dx(x-1)}{x(x-1)^2(x-3)}.
\]
\[
x^2-2x+3
=A(x-1)^2(x-3)+Bx(x-1)(x-3)+Cx(x-3)+Dx(x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;A=-1.\\
& x=1;\;C=-1.\\
& x=3;\;D=\frac{1}{2}.\\
& x=2;\;3=-A-2B-2C+2D;\;B=\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)}dx
=\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-3}\right)dx=\\
=-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\ln|x-3|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\ln|x-3|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2032 |