Задача №1586
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)}dx}\).
Решение
\[
\frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)}
=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}+\frac{D}{x-5}=\\
=\frac{A(x-5)(x-2)^2+B(x-2)(x-5)+C(x-5)+D(x-2)^3}{(x-2)^3(x-5)}
\]
\[
x^3-6x^2+9x+7
=A(x-5)(x-2)^2+B(x-2)(x-5)+C(x-5)+D(x-2)^3
\]
\[
\begin{aligned}
& x=2;\;C=-3.\\
& x=5;\;D=1.\\
& x=0;\;-2A+B=0.\\
& x=3;\;A+B=0.
\end{aligned}
\]
Из полученных уравнений имеем \(\displaystyle{A=B=0}\).
\[
\int\frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)}dx
=\int\left(-\frac{3}{(x-2)^3}+\frac{1}{x-5}\right)dx
=\frac{3}{2(x-2)^2}+\ln|x-5|+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{2(x-2)^2}+\ln|x-5|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2029 |