Задача №1585
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2dx}{(x+2)^2(x+4)^2}}\).
Решение
\[
\frac{x^2}{(x+2)^2(x+4)^2}
=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2}=\\
=\frac{A(x+2)(x+4)^2+B(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+D(x+2)^2}{(x+2)^2(x+4)^2}
\]
\[
x^2
=A(x+2)(x+4)^2+B(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+D(x+2)^2
\]
\[
\begin{aligned}
& x=-2;\;B=1.\\
& x=-4;\;D=4.
\end{aligned}
\]
Подставляя найденные значения параметров \(\displaystyle{B=1}\), \(\displaystyle{D=4}\), получим:
\[
x^2
=A(x+2)(x+4)^2+(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+4(x+2)^2;\\
-4(x+4)(x+2)=A(x+2)(x+4)^2+(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4);\\
-4=A(x+4)+C(x+2).
\]
\[
\begin{aligned}
& x=-2;\;A=-2.\\
& x=-4;\;C=2.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{x^2dx}{(x+2)^2(x+4)^2}
=\int\left(-\frac{2}{x+2}+\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{2}{x+4}+\frac{4}{(x+4)^2}\right)dx=\\
=-2\ln|x+2|-\frac{1}{x+2}+2\ln|x+4|-\frac{4}{x+2}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-2\ln|x+2|-\frac{1}{x+2}+2\ln|x+4|-\frac{4}{x+2}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2028 |