Задача №1583
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4}dx}\).
Решение
Разумеется, можно разложить подынтегральную дробь на элементарные стандартным алгоритмом, однако мне кажется более удобным иной путь. Положив \(\displaystyle{x=t+2}\) получим:
\[
\frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4}
=\frac{(t+2)^3-6(t+2)^2+11(t+2)-5}{t^4}
=\frac{t^3-t+1}{t^4}
=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t^4}
\]
Вернёмся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4}dx
=\left[\begin{aligned}
& x=t+2;\\
& dx=dt.
\end{aligned}\right]=\\
=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t^4}\right)dt
=\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)^2}+\frac{1}{3(x-2)^3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)^2}+\frac{1}{3(x-2)^3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2026 |