Задача №1580
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\frac{dx}{x}}\).
Решение
\[
\frac{x^2+4x+4}{x(x-1)^2}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}
=\frac{A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx}{x(x-1)^2}
\]
\[
x^2+4x+4
=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;A=4.\\
& x=1;\;C=9.\\
& x=-1;\;1=4A+2B-C;\;B=-3.
\end{aligned}
\]
\[
\int\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\frac{dx}{x}
=\int\left(\frac{4}{x}-\frac{3}{x-1}+\frac{9}{(x-1)^2}\right)dx
=4\ln|x|-3\ln|x-1|-\frac{9}{x-1}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{4\ln|x|-3\ln|x-1|-\frac{9}{x-1}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2023 |