Задача №1579
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\left(x^2-3x+2\right)dx}{x\left(x^2+2x+1\right)}}\).
Решение
\[
\frac{x^2-3x+2}{x\left(x^2+2x+1\right)}
=\frac{x^2-3x+2}{x\left(x+1\right)^2}=\\
=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}
=\frac{A(x+1)^2+Bx+Cx(x+1)}{x\left(x+1\right)^2}
\]
\[
x^2-3x+2
=A(x+1)^2+Bx+Cx(x+1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;A=2.\\
& x=-1;\;B=-6.\\
& x=1;\;0=4A+B+2C;\;C=-1.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{\left(x^2-3x+2\right)dx}{x\left(x^2+2x+1\right)}
=\int\left(\frac{2}{x}-\frac{6}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}\right)
=2\ln|x|+\frac{6}{x+1}-\ln|x+1|+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\ln|x|+\frac{6}{x+1}-\ln|x+1|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2022 |