Задача №1576
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{xdx}{x^4-3x^2+2}}\).
Решение
Мне кажется удобным сделать замену \(\displaystyle{t=x^2}\), а затем уже раскладывать подынтегральную дробь на элементарные.
\[
\int\frac{xdx}{x^4-3x^2+2}
=\left[t=x^2\right]
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{t^2-3t+2}
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{(t-1)(t-2)}
\]
\[
\frac{1}{(t-1)(t-2)}
=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t-2}
=\frac{A(t-2)+B(t-1)}{(t-1)(t-2)}
\]
Применим метод подстановки:
\[
1=A(t-2)+B(t-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& t=1;\;A=-1.\\
& t=2;\;B=1.
\end{aligned}
\]
\[
\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{(t-1)(t-2)}
=\frac{1}{2}\cdot\int\left(-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t-2}\right)dt=\\
=\frac{1}{2}\cdot\left(\ln|t-2|-\ln|t-1|\right)+C
=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-2}{t-1}\right|+C
=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-2}{x^2-1}\right|+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-2}{x^2-1}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2019 |