Задача №1575
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{32xdx}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)}}\).
Решение
\[
\frac{32x}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)}
=\frac{32x}{(2x-1)(2x-3)(2x-5)}=\\
=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{2x-3}+\frac{C}{2x-5}
=\frac{A(2x-3)(2x-5)+B(2x-1)(2x-5)+C(2x-1)(2x-3)}{(2x-1)(2x-3)(2x-5)}
\]
Для того, чтобы найти значения параметров \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\), сугубо для разнообразия применим метод неопределённых коэффициентов:
\[
32x
=A(2x-3)(2x-5)+B(2x-1)(2x-5)+C(2x-1)(2x-3)=\\
=(4A+4B+4C)x^2+(-16A-12B-8C)x+15A+5B+3C
\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& 4A+4B+4C=0;\\
& -16A-12B-8C=32;\\
& 15A+5B+3C=0.
\end{aligned}\right.
\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& A+B+C=0;\\
& -4A-3B-2C=8;\\
& 15A+5B+3C=0.
\end{aligned}\right.
\]
Решив данную систему, получим \(\displaystyle{A=2}\), \(\displaystyle{B=-12}\), \(\displaystyle{C=10}\). Возвращаемся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{32xdx}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)}=\\
=\int\left(\frac{2}{2x-1}-\frac{12}{2x-3}+\frac{10}{2x-5}\right)dx
=\ln|2x-1|-6\ln|2x-3|+5\ln|2x-5|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln|2x-1|-6\ln|2x-3|+5\ln|2x-5|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2018 |