Задача №1572

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{6x^3-7x^2-3x}}\).

Решение

\[ \frac{1}{6x^3-7x^2-3x} =\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-3}+\frac{C}{3x+1} \]

Значения параметров \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\) можно найти разными путями, но самый быстрый – так называемый метод вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7). Этот метод описан в книге для дробей вида \(\displaystyle{\frac{A}{(x-a)^k}}\), однако без каких-либо модификаций он работает и для дробей вида \(\displaystyle{\frac{A}{(kx+b)^c}}\).

Чтобы найти значение \(\displaystyle{A}\), вычёркиваем в дроби \(\displaystyle{\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}}\) множитель \(\displaystyle{x}\), а в оставшееся выражение подставляем \(\displaystyle{x=0}\):

\[ A=\left.\frac{1}{(2x-3)(3x+1)}\right|_{x=0} =-\frac{1}{3}. \]

Чтобы найти значение \(\displaystyle{B}\), вычёркиваем в дроби \(\displaystyle{\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}}\) скобку \(\displaystyle{(2x-3)}\), а в оставшееся выражение подставляем \(\displaystyle{x=\frac{3}{2}}\):

\[ B=\left.\frac{1}{x(3x+1)}\right|_{x=\frac{3}{2}} =\frac{4}{33}. \]

Аналогично находим значение \(\displaystyle{C}\):

\[ C=\left.\frac{1}{x(2x-3)}\right|_{x=-\frac{1}{3}} =\frac{9}{11}. \]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

\[ \int\frac{dx}{6x^3-7x^2-3x} =\int\left(-\frac{1}{3x}+\frac{4}{33(2x-3)}+\frac{9}{11(3x+1)}\right)dx=\\ =-\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{2}{33}\ln|2x-3|+\frac{3}{11}\ln|3x+1|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{2}{33}\ln|2x-3|+\frac{3}{11}\ln|3x+1|+C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №3	Основные классы интегрируемых функций
Задача №2015

Задачник №3	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2)
Параграф №2	Интегрирование рациональных функций
Задача №2
Пункт №5