Задача №1567
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx}\).
Решение
\[
\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx
=\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}
=\int\sqrt[3]{\tg^2{x}}\left(1+\tg^2{x}\right)d\left(\tg{x}\right)=\\
=\int\left(\left(\tg{x}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\tg{x}\right)^{\frac{8}{3}}\right)d\left(\tg{x}\right)
=\frac{3}{5}\left(\tg{x}\right)^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{11}\left(\tg{x}\right)^{\frac{11}{3}}+C
=\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №2010 |