Задача №1563
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\ln(x+1)-\ln{x}}{x(x+1)}dx}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}}\), то \(\displaystyle{d\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=-\frac{dx}{x(x+1)}}\).
\[
\int\frac{\ln(x+1)-\ln{x}}{x(x+1)}dx
=-\int\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)d\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=\\
=-\frac{\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)^2}{2}+C
=-\frac{1}{2}\ln^2\left(1+\frac{1}{x}\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{2}\ln^2\left(1+\frac{1}{x}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №2006 |