Задача №1562
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\sqrt{e^x-1}dx}\).
Решение
\[
\int\sqrt{e^x-1}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt{e^x-1};\;x=\ln\left(t^2+1\right).\\
& dx=\frac{2tdt}{t^2+1}.
\end{aligned}\right]
=\int\frac{2t^2dt}{t^2+1}=\\
=2\int\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt
=2t-2\arctg{t}+C
=2\sqrt{e^x-1}-2\arctg\sqrt{e^x-1}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\sqrt{e^x-1}-2\arctg\sqrt{e^x-1}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №2005 |