Задача №1556
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^4+4}}}\).
Решение
При нахождении данного интеграла полагаем, что нам уже известен интеграл \(\displaystyle{\int\sqrt{x^2+a^2}dx}\). Вывод этого интеграла был осуществлён в 1423.
\[
\int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^4+4}}
=\left[u=x^2\right]
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{u^2du}{\sqrt{u^2+4}}
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{u^2+4-4}{\sqrt{u^2+4}}du=\\
=\frac{1}{2}\int\sqrt{u^2+4}du-2\int\frac{du}{\sqrt{u^2+4}}
=\frac{u\sqrt{u^2+4}}{4}-\ln\left(u+\sqrt{u^2+4}\right)+C=\\
=\frac{x^2\sqrt{x^4+4}}{4}-\ln\left(x^2+\sqrt{x^4+4}\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^2\sqrt{x^4+4}}{4}-\ln\left(x^2+\sqrt{x^4+4}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1999 |