Задача №1553
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}}}\).
Решение
Равенство нулю обеих параметров (\(\displaystyle{a=0}\) и \(\displaystyle{b=0}\)) невозможно. Случай, когда лишь один параметр (\(\displaystyle{a}\) или \(\displaystyle{b}\)) равен нулю, а второй – отличен от нуля, сводится к табличному интегралу. Пусть \(\displaystyle{a\neq{0}}\) и \(\displaystyle{b\neq{0}}\).
\[
\int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}}
=\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
\]
Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\gt{0}}\), то получим:
\[
\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{b}{a}}}\cdot\arctg\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}+C
=\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C.
\]
Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\lt{0}}\), то получим:
\[
\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}\right)^2}
=\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C.
\]
Ответ:
- Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\gt{0}}\), то \(\displaystyle{\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C}\).
- Если \(\displaystyle{\frac{b}{a}\lt{0}}\), то \(\displaystyle{\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1996 |