Задача №1551
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}dx
=\int\frac{\sqrt{(x+1)^2-1}}{x}dx
=\left[z=x+1\right]=\\
=\int\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-1}dz
=\int\frac{(z+1)\sqrt{z^2-1}}{(z-1)(z+1)}dz
=\int\frac{(z+1)\sqrt{z^2-1}}{z^2-1}dz=\\
=\int\frac{z+1}{\sqrt{z^2-1}}dz
=\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2-1}}+\int\frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}=\\
=\sqrt{z^2-1}+\ln\left|z+\sqrt{z^2-1}\right|+C
=\sqrt{x^2+2x}+\ln\left|x+1+\sqrt{x^2+2x}\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{x^2+2x}+\ln\left|x+1+\sqrt{x^2+2x}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1994 |