Задача №1547
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}}\).
Решение
В двадцать втором издании этот интеграл размещён с ошибкой: в знаменателе должно быть выражение \(\displaystyle{\sqrt[4]{x^3}+1}\), а не \(\displaystyle{\sqrt[4]{x^3+1}}\).
\[
\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}
=\left[\begin{aligned}
& x=z^4;\\
& dx=4z^3dz.
\end{aligned}\right]
=4\int\frac{z^5dz}{z^3+1}
=4\int{z^2}dz-4\int\frac{z^2dz}{z^3+1}=\\
=4\cdot\left(\frac{z^3}{3}-\frac{1}{3}\ln\left|z^3+1\right|\right)+C
=\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1990 |