Задача №1541
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}\).
Решение
Первый способ
Полагаем, что интеграл \(\int\sqrt{a^2-x^2}dx\) нам известен. При желании, в принципе, его несложно вывести:
\[
\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\left[ \begin{aligned} & u=\sqrt{a^2-x^2}; \; du=\frac{-xdx}{\sqrt{a^2-x^2}}.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right]
=x\cdot\sqrt{a^2-x^2}-\int\frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\\
=x\cdot\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx+a^2\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=x\cdot \sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx +a^2\cdot\arcsin\frac{x}{a}+C.
\]
\[
\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}
=\left[\begin{aligned}
& u=x^3;\;du=3x^2dx;\\
& dv=\frac{xdx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}};\;v=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
\end{aligned}\right]
=\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}-3\cdot\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\
=\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}+3\int\sqrt{1-x^2}dx-3\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
=\frac{3x-x^3}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C
\]
Второй способ
\[
\int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}
=\left[\begin{aligned}
& x=\sin{z};\\
& dx=\cos{x}dz.
\end{aligned}\right]
=\int\frac{\sin^4{z}\cdot\cos{z}}{\cos^3{z}}dz
=\int\frac{\left(1-\cos^2{z}\right)^2}{\cos^2{z}}dz=\\
=\int\left(\frac{1}{\cos^2{z}}-2+\cos^2{z}\right)dz
=\int\left(\frac{1}{\cos^2{z}}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos{2z}\right)dz=\\
=\tg{z}-\frac{3z}{2}+\frac{\sin{2z}}{4}+C
=\frac{\sin{z}}{\cos{z}}-\frac{3z}{2}+\frac{\sin{z}\cos{z}}{2}+C
=-\frac{x\cdot\left(x^2-3\right)}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{x\cdot\left(x^2-3\right)}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C\)