Задача №1536
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x\in\left(-\pi+4\pi{n};4\pi\right)\cup\left(4\pi;\pi+4\pi{n}\right)}\), \(\displaystyle{n\in{Z}}\) то получим:
\[
\int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}}
=\sqrt{2}\int\frac{dx}{\sin\frac{x}{2}}
=\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C
\]
Если \(\displaystyle{x\in\left(\pi+4\pi{n};(4n+2)\pi\right)\cup\left((4n+2)\pi;3\pi+4\pi{n}\right)}\), \(\displaystyle{n\in{Z}}\), то получим:
\[
\int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}}
=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}}
=-\sqrt{2}\int\frac{dx}{\sin\frac{x}{2}}
=-\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C
\]
Ответ:
- \(\displaystyle{\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C}\)
- \(\displaystyle{-\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1979 |