Задача №1534
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sin{x}dx}{1+\sin{x}}}\).
Решение
\[
\int\frac{\sin{x}dx}{1+\sin{x}}
=\int\left(1-\frac{1}{1+\sin{x}}\right)dx
=\int\left(1-\frac{1-\sin{x}}{\left(1+\sin{x}\right)\cdot\left(1-\sin{x}\right)}\right)dx=\\
=\int\left(1-\frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}\right)dx
=\int\left(1-\frac{1}{\cos^2{x}}\right)dx-\int\frac{d(\cos{x})}{\cos^2{x}}
=x-\tg{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x-\tg{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1977 |