Задача №1533
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}}}\).
Решение
В интеграле из задачника двадцать второго издания в условии ошибка: знаменатель записан в форме \(\displaystyle{\sqrt{3\cos{x}+\sin{x}}}\).
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}}
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}+\frac{1}{2}\sin{x}}
=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dx}{\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}
=\frac{1}{2}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1976 |