Задача №1521
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx}\).
Решение
Первый способ
\[
\int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx
=\int\frac{dx}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)}dx
=\int\frac{dx}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)}
=\frac{1}{3}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)+C
\]
Второй способ
\[
\int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx
=\int\frac{1+\sin{3x}}{\left(1-\sin{3x}\right)\cdot\left(1+\sin{3x}\right)}dx
=\int\left(\frac{1}{\cos^2{3x}}+\frac{\sin{3x}}{\cos^2{3x}}\right)dx
=\frac{1}{3}\tg{3x}+\frac{1}{3\cos{3x}}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{3}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1964 |