Задача №1519
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^7dx}{\left(1+x^4\right)^2}}\).
Решение
В двадцать втором издании этот пример с ошибкой: в степени расположено выражение \(\displaystyle{x^2}\) вместо \(\displaystyle{x^7}\), как должно быть согласно ответу к этой задаче. Поэтому условие исправлено.
\[
\int\frac{x^7dx}{\left(1+x^4\right)^2}
=\left[\begin{aligned}
& u=x^4;\;du=4x^3dx;\\
& dv=\frac{x^3dx}{\left(1+x^4\right)^2};\;v=-\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}.
\end{aligned}\right]
=-\frac{x^4}{4\left(1+x^4\right)}+\int\frac{x^3dx}{x^4+1}=\\
=-\frac{x^4+1-1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C
=\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C-\frac{1}{4}
=\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1962 |