Задача №1505
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12}}\).
Решение
Так как примеры на интегрирование рациональных дробей в Бермане рассматриваются в следующем параграфе, то общий метод разложения рациональных дробей на элементарные применять не станем. Впрочем, здесь вполне можно обойтись и без него:
\[
\frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12}
=\frac{(x-3+1)dx}{(x-3)(x-4)}
=\frac{1}{x-4}+\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\\
=\frac{1}{x-4}+\frac{x-3-(x-4)}{(x-3)(x-4)}
=\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}
=\frac{2}{x-4}-\frac{1}{x-3}.
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12}
=\int\left(\frac{2}{x-4}-\frac{1}{x-3}\right)dx
=2\ln|x-4|-\ln|x-3|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\ln|x-4|-\ln|x-3|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1948 |