Задача №1503
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{(3x-1)dx}{4x^2-4x+17}}\).
Решение
\[
\int\frac{(3x-1)dx}{4x^2-4x+17}
=\frac{3}{8}\cdot\int\frac{8x-4+\frac{4}{3}}{4x^2-4x+17}dx
=\frac{3}{8}\cdot\int\frac{(8x-4)dx}{4x^2-4x+17}+\frac{1}{4}\cdot\int\frac{dx}{4x^2-4x+17}=\\
=\frac{3}{8}\cdot\int\frac{d\left(4x^2-4x+17\right)}{4x^2-4x+17}+\frac{1}{4}\cdot\int\frac{d(2x-1)}{(2x-1)^2+16}
=\frac{3}{8}\ln\left(4x^2-4x+17\right)+\frac{1}{16}\arctg\frac{2x-1}{4}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{8}\ln\left(4x^2-4x+17\right)+\frac{1}{16}\arctg\frac{2x-1}{4}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1946 |