Задача №1501
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x+2}{x^2+2x+2}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{x+2}{x^2+2x+2}dx
=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+2x+2}dx
=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx+\int\frac{dx}{x^2+2x+2}dx=\\
=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2+2x+2\right)}{x^2+2x+2}dx+\int\frac{d(x+1)}{(x+1)^2+1}dx
=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+\arctg(x+1)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+\arctg(x+1)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1944 |