Задача №1495
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\left(\sqrt{\sin{x}}+\cos{x}\right)^2dx}\).
Решение
\[
\int\left(\sqrt{\sin{x}}+\cos{x}\right)^2dx
=\int\left(\sin{x}+2\sqrt{\sin{x}}\cdot\cos{x}+\cos^2{x}\right)dx=\\
=\int\left(\sin{x}+\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}\right)dx+2\int(\sin{x})^{\frac{1}{2}}d(\sin{x})
=-\cos{x}+\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{4\sqrt{\sin^3{x}}}{3}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\cos{x}+\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{4\sqrt{\sin^3{x}}}{3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1938 |