Задача №1484
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{(\arctg{x})^n}{1+x^2}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{(\arctg{x})^n}{1+x^2}dx
=\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
\]
Если \(\displaystyle{n=-1}\), то получим:
\[
\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
=\ln|\arctg{x}|+C
\]
Если же \(\displaystyle{n\neq{-1}}\), то получим:
\[
\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
=\frac{(\arctg{x})^{n+1}}{n+1}+C.
\]
Ответ:
Если \(\displaystyle{n=-1}\), то интеграл равен \(\displaystyle{\ln|\arctg{x}|+C}\). Если же \(\displaystyle{n\neq{-1}}\), то интеграл равен \(\displaystyle{\frac{(\arctg{x})^{n+1}}{n+1}+C}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1927 |