Задача №1483
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}dx
=\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}-\frac{x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}\right)dx=\\
=\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\int\left(x^2+1\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(x^2+1\right)
=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1926 |