Задача №1466
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\arctg{x}dx}{x^2\left(1+x^2\right)}}\)
Решение
Полагаем \(\displaystyle{x=\tg{t}}\) при условии \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}}\). Так как \(\displaystyle{dx=\frac{dt}{\cos^2{t}}}\), то получим:
\[
\int\frac{\arctg{x}dx}{x^2\left(1+x^2\right)}
=\int\frac{t\cdot\frac{dt}{\cos^2{t}}}{\tg^2{t}\cdot\frac{1}{\cos^2{t}}}
=\int{t}\ctg^2{t}dt
=\int\left(\frac{t}{\sin^2{t}}-t\right)dt
=\int\frac{tdt}{\sin^2{t}}-\frac{t^2}{2}=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=t;\;du=dt;\\
& dv=\frac{dt}{\sin^2{t}};\;v=-\ctg{t}.
\end{aligned}\right]
=-t\ctg{t}+\int\ctg{t}dt-\frac{t^2}{2}
=-t\ctg{t}+\ln|\sin{t}|-\frac{t^2}{2}+C=\\
=-\frac{t}{\tg{t}}+\ln\frac{|\tg{t}|}{\sqrt{1+\tg^2{t}}}-\frac{t^2}{2}+C
=-\frac{\arctg{x}}{x}+\ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{\arctg{x}}{x}+\ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1909 |