Задача №1465
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2\arctg{x}dx}{1+x^2}dx}\).
Решение
Полагаем \(\displaystyle{x=\tg{t}}\) при условии \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}}\). Интеграл \(\displaystyle{\int\frac{tdt}{\cos^2{t}}}\) был найден в примере [[1907-1]], поэтому в ходе решения просто используем готовый результат.
\[
\int\frac{x^2\arctg{x}dx}{1+x^2}dx
=\int\frac{\tg^2{t}\cdot{t}\cdot\frac{dt}{\cos^2{t}}}{\frac{1}{\cos^2{t}}}
=\int{t}\tg^2{t}dt
=\int\left(-t+\frac{t}{\cos^2{t}}\right)dt=\\
=-\frac{t^2}{2}+\int\frac{tdt}{\cos^2{t}}
=-\frac{t^2}{2}+t\tg{t}+\ln|\cos{t}|+C=\\
=-\frac{t^2}{2}+t\tg{t}+\ln\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2{t}}}+C
=-\frac{\arctg^2{x}}{2}+x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{\arctg^2{x}}{2}+x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1908 |