Задача №1464
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\arcsin{x}dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}}\)
Решение
Полагаем \(\displaystyle{x=\sin{t}}\) при условии \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}}\). При этом условии \(\displaystyle{\arcsin\sin{t}=t}\), \(\displaystyle{dx=\cos{t}dt}\). Кроме того, при \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}}\) имеем \(\displaystyle{\cos{t}\gt{0}}\), что будет учтёно в решении. Так как \(\displaystyle{\sqrt{1-x^2}=\cos{t}}\), то получим:
\[
\int\frac{\arcsin{x}dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}
=\int\frac{tdt}{\cos^2{t}}
=\left[\begin{aligned}
& u=t;\;du=dt;\\
& dv=\frac{dt}{\cos^2{t}};\;v=\tg{t}.
\end{aligned}\right]
=t\cdot\tg{t}-\int\tg{t}dt=\\
=t\cdot\tg{t}+\ln|\cos{t}|+C
=\frac{t\sin{t}}{\sqrt{1-\sin^2t}}+\ln\sqrt{1-\sin^2{t}}+C
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1907 |