Задача №1461
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{(x+1)dx}{x\left(1+xe^x\right)}}\).
Решение
\[
\int\frac{(x+1)dx}{x\left(1+xe^x\right)}
=\int\frac{\left(xe^x+e^x\right)dx}{xe^x\left(1+xe^x\right)}
=\int\frac{d\left(xe^x\right)}{xe^x\left(1+xe^x\right)}
=\left|t=xe^x\right|=\\
=\int\frac{dt}{t(t+1)}
=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)dt
=\ln|t|-\ln|t+1|+C
=\ln\left|\frac{xe^x}{xe^x+1}\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left|\frac{xe^x}{xe^x+1}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1904 |