Задача №1458

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}}\).

Решение

В решебниках эту задачу предлагается решить с помощью замены \(\displaystyle{x=\frac{\tg{t}}{2}}\). В принципе, это простая замена, которая даст нам следующий результат:

\[ \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{\tg{t}}{2};\;dx=\frac{dt}{2\cos^2{t}}\right| =\int\frac{2\cos{t}dt}{\sin^2{t}+16\cos^2{t}} =\frac{2}{\sqrt{15}}\int\frac{d(\sqrt{15}\sin{t})}{16-15\sin^2{t}} =\ldots \]

Дальнейшее решение очевидно. Мне кажется более интересной замена \(\displaystyle{x=\frac{1}{z}}\). Такую замену в данном примере надо рассматривать для двух случаев: \(\displaystyle{z\gt{0}}\) и \(\displaystyle{z\lt{0}}\). Я рассмотрю случай \(\displaystyle{z\gt{0}}\), а вариант \(\displaystyle{z\lt{0}}\) рассматривается аналогично.

\[ \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right| =-\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\ =\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right| =-\int\frac{dt}{4t^2-15} =-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\ =-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C =\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C \]

В принципе, оба варианта (\(\displaystyle{z\lt{0}}\) и \(\displaystyle{z\gt{0}}\)) можно рассмотреть в одной записи, если использовать функцию знака \(\displaystyle{\sgn{z}}\):

\[ \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right| =-\sgn{z}\cdot\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\ =\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right| =-\sgn{z}\cdot\int\frac{dt}{4t^2-15} =-\frac{\sgn{z}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\ =-\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C =\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}\cdot|x|}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}\cdot|x|}\right|+C =\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №2	Основные методы интегрирования
Задача №1901