Задача №1454
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}}\).
Решение
Подынтегральная функция определена и непрерывна при \(\displaystyle{|x|\gt{3}}\). Соответственно, подстановку \(\displaystyle{x=\frac{3}{t}}\), которую мы станем использовать, надо рассматривать при \(\displaystyle{t\in(-1;0)}\) и \(\displaystyle{t\in(0;1)}\). Например, при \(\displaystyle{t\in(0;1)}\) получим такое решение:
\[
\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}
=\left|\begin{aligned}& x=\frac{3}{t}.\\& dx=-\frac{3dt}{t^2}.\end{aligned}\right|
=-\int\frac{-\frac{3dt}{t^2}}{\frac{9}{t^2}\cdot\sqrt{\frac{9}{t^2}-9}}
=-\frac{1}{9}\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}=\\
=\frac{1}{18}\int\left(1-t^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-t^2\right)
=\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{9}+C
=\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{9}+C
=\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C
\]
Однако чтобы не заниматься двойной работой, проще объединить две записи решения (при положительном и отрицательном \(\displaystyle{t}\)) в одну:
\[
\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}
=\left|\begin{aligned}&x=\frac{3}{t}.\\&dx=-\frac{3dt}{t^2}.\end{aligned}\right|
=-\int\frac{-\frac{3dt}{t^2}}{\frac{9}{t^2}\cdot\sqrt{\frac{9}{t^2}-9}}
=-\frac{\sgn{t}}{9}\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}=\\
=\frac{\sgn{t}}{18}\int\left(1-t^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-t^2\right)
=\sgn{t}\cdot\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{9}+C
=\sgn{x}\cdot\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{9}+C
=\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1897 |