Задача №1450
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx}\).
Решение
Подстановку \(\displaystyle{x=\frac{1}{t}}\), которую мы станем применять, надо рассматривать на двух интервалах: \(\displaystyle{t\in(-\infty;0)}\) и \(\displaystyle{t\in(0;+\infty)}\). Это не столь сложно сделать. Например, при \(\displaystyle{t\gt{0}}\) получим такое решение:
\[
\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx
=\left|\begin{aligned}& x=\frac{1}{t}.\\& dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right|
=\int\frac{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{\frac{1}{t^4}}dt
=-\int{t}\sqrt{1+t^2}dt=\\
=-\frac{1}{2}\int\left(1+t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1+t^2\right)
=-\frac{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C
=-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C
\]
Решение при \(\displaystyle{t\lt{0}}\) будет полностью аналогичным. Однако с помощью функции знака \(\displaystyle{\sgn{t}}\) оба решения можно представить одной записью:
\[
\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx
=\left|\begin{aligned}& x=\frac{1}{t}.\\& dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right|
=\int\frac{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{\frac{1}{t^4}}dt
=-\sgn{t}\cdot\int{t}\sqrt{1+t^2}dt=\\
=-\frac{\sgn{t}}{2}\int\left(1+t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1+t^2\right)
=-\frac{\sgn{t}\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C
=-\frac{\sgn{x}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C
=-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1893 |