Задача №1449

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}}\).

Решение

Случай \(\displaystyle{a=0}\) рассматривается элементарно (см. начало [[1890-1]]), поэтому перейдём к варианту \(\displaystyle{a\neq{0}}\). Подынтегральная функция определена и непрерывна при \(\displaystyle{|x|\gt|a|}\), поэтому подстановка \(\displaystyle{x=\frac{|a|}{t}}\), которую мы применим, должна рассматриваться на двух интервалах: \(\displaystyle{t\in(-1;0)}\) и \(\displaystyle{t\in(0;1)}\). Можно, разумеется, сделать два решения по отдельности. Например, при \(\displaystyle{t\in(0;1)}\) получим:

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{t}.\\&dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\ =-\frac{1}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{1}{|a|}\arcsin{t}+C =-\frac{1}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C \]

Однако проще не рассматривать два варианта значений \(\displaystyle{t}\), а оформить два решения в виде одной записи с помощью функции знака \(\displaystyle{\sgn{t}}\).

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}} =\left|\begin{aligned}& x=\frac{|a|}{t}.\\& dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\ =-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{\sgn{t}}{|a|}\arcsin{t}+C =-\frac{\sgn{x}}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C =-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C \]

К слову, записанные выше преобразования можно выполнить и в такой форме:

\[ \ldots=-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{1}{|a|}\int\frac{d(|t|)}{\sqrt{1-|t|^2}} =-\frac{1}{|a|}\arcsin|t|+C =\ldots \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №2	Основные методы интегрирования
Задача №1892